jueves, 13 de noviembre de 2014

MATEMATICAS



LA MEDIA
Dados los n números \{a_1, a_2, \ldots, a_n\}, la media aritmética se define como:
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
\bar{x} = \frac{ 8 + 5 + \left ( -1 \right ) }{3} = 4
Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra (\overline{X}), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.
En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado.

LA MODA
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:
M = L_{i} + \left( \frac{D_1}{D_1+D_2} \right)A_{i}
Donde:
L_{i} = L-inferior de la clase modal.
D_1 = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.
D_2 = es el delta de frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.
A_{i} = Amplitud del intervalo modal

LA MEDIANA
Al tratar con datos agrupados, si  {{\frac {n} {2}}}  coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
\frac{N_i-N_{i-1} }{a_i-a_{i-1} }=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1} }{N_i-N_{i-1} }(a_i-a_{i-1})
Donde N_{i} y N_{i-1} son las frecuencias absolutas acumuladas tales que N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}, a_{i-1} y a_{i} son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y M_e=a_{i-1}+p es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que a_{i} - a_{i-1} es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

 LA DESVIACIÓN TÍPICA
La Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de probabilidad discreta:
s2=1n∑i=1n(xi−x¯)2
Cuando los casos tomados son iguales al total de la población se aplica la fórmula de desviación estándar poblacional. Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.
Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa el realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n−1 según lacorrección de Bessel. Esta ocurre cuando la media de muestra se utiliza para centrar los datos, en lugar de la media de la población. Puesto que la media de la muestra es una combinación lineal de los datos, el residual a la muestra media se extiende más allá del número de grados de libertad por el número de ecuaciones de restricción —en este caso una—. Dado esto a la muestra así obtenida de una muestra sin el total de la población se le aplica esta corrección con la fórmula desviación estándar muestral.
s2=∑i=1n(xi−x¯)2n−1

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